Фильтр
Выбрано 4 задачи Убрать все задачи
Как связано разложение рационального числа в цепную дробь с алгоритмом Евклида?
РешениеВ бесконечной последовательности a1, a2, a3, ... число a1 равно 1,
а каждое следующее число an строится из предыдущего an–1 по правилу: если у числа n наибольший нечётный делитель имеет остаток 1 от деления на 4, то an = an–1 + 1, если же остаток равен 3, то an = an–1 – 1. Докажите, что в этой последовательности
а) число 1 встречается бесконечно много раз;
б) каждое натуральное число встречается бесконечно много раз.
(Вот первые члены этой последовательности: 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 3, ...)
РешениеСуществуют ли такие простые числа p1, p2, ..., p2007, что делится на p2,
делится на p3, ...,
делится на p1?
РешениеДан описанный четырёхугольник ABCD, P, Q и R – основания перпендикуляров, опущенных из вершины D на прямые BC, CA, AB соответственно. Докажите, что биссектрисы углов ABC, ADC и диагональ AC пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда |PQ| = |QR|.
Решение
Задачи
Задача 111042 |
|
Дан описанный четырёхугольник ABCD, P, Q и R – основания перпендикуляров, опущенных из вершины D на прямые BC, CA, AB соответственно. Докажите, что биссектрисы углов ABC, ADC и диагональ AC пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда |PQ| = |QR|.
|
|
|
Решение |
Задача 110770 |
|
|
Докажите, что AP ≥ AI, причём равенство выполняется тогда и только тогда, когда P совпадает с I.
|
|
Решение |
Задача 110773 |
|
|
Найдите все такие пары (x, y) целых чисел, что 1 + 2x + 22x+1 = y².
|
|
|
Решение |
Задача 110774 |
|
|
Пусть P(x) – многочлен степени n > 1 с целыми коэффициентами, k – произвольное натуральное число. Рассмотрим многочлен
Qk(x) = P(P(...P(P(x))...)) (P применён k раз). Докажите, что существует не более n целых чисел t, при которых Qk(t) = t.
|
|
|
Решение |
Задача 110776 |
|
|
a и b – натуральные числа. Покажите, что если 4ab – 1 делит (4a² – 1)², то a = b.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]
