Версия для печати
Убрать все задачи

---

Имеется резинка и стеклянные шарики-бусины: четыре одинаковых красных, две одинаковых синих и две одинаковых зелёных. Нужно все восемь бусин нанизать на резинку последовательно, чтобы получился браслет. Сколько различных браслетов можно составить так, чтобы бусины одного цвета не оказались рядом? (Считайте, что застёжки нет, а узелок на резинке незаметен.)

   Решение

---

Известно, что уравнение  ax⁵ + bx⁴ + c = 0  имеет три различных корня. Докажите, что уравнение  cx⁵ + bx + a = 0  также имеет три различных корня.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109588  (#94.4.9.1)

Темы:   [ Задачи на работу ] [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Как-то Кролик торопился на встречу с осликом Иа-Иа, но к нему неожиданно пришли Винни-Пух и Пятачок. Будучи хорошо воспитанным, Кролик предложил гостям подкрепиться. Пух завязал салфеткой рот Пятачку и в одиночку съел 10 горшков мёда и 22 банки сгущенного молока, причём горшок мёда он съедал за 2 минуты, а банку молока – за минуту. Узнав, что больше ничего сладкого в доме нет, Пух попрощался и увёл Пятачка. Кролик с огорчением подумал, что он бы не опоздал на встречу с осликом, если бы Пух поделился с Пятачком. Зная, что Пятачок съедает горшок мёда за 5 минут, а банку молока – за 3 минуты, Кролик вычислил наименьшее время, за которое гости смогли бы уничтожить его запасы. Чему равно это время? (Банку молока и горшок мёда можно делить на любые части.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108198  (#94.4.9.2)

Темы:   [ Неравенство треугольника ] [ Геометрические неравенства (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Города A , B , C и D расположены так, что расстояние от C до A меньше, чем расстояние от D до A , а расстояние от C до B меньше, чем расстояние от D до B . Докажите, что расстояние от города C до любой точки прямолинейной дороги, соединяющей города A и B , меньше, чем расстояние от D до этой точки.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109590  (#94.4.9.3)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Существует ли такой квадратный трёхчлен P(x) с целыми коэффициентами, что для любого натурального числа n, в десятичной записи которого участвуют одни единицы, число P(n) также записывается одними единицами?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109591  (#94.4.9.4)

Темы:   [ Математическая логика (прочее) ] [ Таблицы и турниры (прочее) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

На совместной конференции партий лжецов и правдолюбов в президиум было избрано 32 человека, которых рассадили в четыре ряда по 8 человек. В перерыве каждый член президиума заявил, что среди его соседей есть представители обеих партий. Известно, что лжецы всегда лгут, а правдолюбы всегда говорят правду. При каком наименьшем числе лжецов в президиуме возможна описанная ситуация? (Два члена президиума являются соседями, если один из них сидит слева, справа, спереди или сзади от другого.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109592  (#94.4.9.5)

Темы:   [ Уравнения высших степеней (прочее) ] [ Симметрия и инволютивные преобразования ] [ Многочлены (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9,10

Известно, что уравнение  ax⁵ + bx⁴ + c = 0  имеет три различных корня. Докажите, что уравнение  cx⁵ + bx + a = 0  также имеет три различных корня.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями