Версия для печати
Убрать все задачи

---

Семь лыжников с номерами 1, 2, ... , 7 ушли со старта по очереди и прошли дистанцию – каждый со своей постоянной скоростью. Оказалось, что каждый лыжник ровно дважды участвовал в обгонах. (В каждом обгоне участвуют ровно два лыжника – тот, кто обгоняет, и тот, кого обгоняют.) По окончании забега должен быть составлен протокол, состоящий из номеров лыжников в порядке финиширования. Докажите, что в забеге с описанными свойствами может получиться не более двух различных протоколов.

   Решение

---

Найдите все нечётные натуральные числа, большие 500, но меньшие 1000, у каждого из которых сумма последних цифр всех делителей (включая 1 и само число) равна 33.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109437

Темы:   [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ] [ Неравенство треугольника (прочее) ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Точка M лежит на стороне BC треугольника ABC . Известно, что радиус окружности, вписанной в треугольник ABM , в два раза больше радиуса окружности, вписанной в треугольник ACM . Может ли отрезок AM оказаться медианой треугольника ABC ?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109438

Темы:   [ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ] [ Показательные функции и логарифмы (прочее) ]

Сложность: 3- Классы: 8,9,10,11

Функция f такова, что для любых положительных x и y выполняется равенство f(xy) = f(x) + f(y) . Найдите f(2007) , если f() = 1 .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109435

Темы:   [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ] [ Тригонометрические неравенства ] [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Что больше:     или   ?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109436

Темы:   [ Количество и сумма делителей числа ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Найдите все нечётные натуральные числа, большие 500, но меньшие 1000, у каждого из которых сумма последних цифр всех делителей (включая 1 и само число) равна 33.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109439

Темы:   [ Задачи на максимум и минимум (прочее) ] [ Прямоугольные параллелепипеды ] [ Углы между прямыми и плоскостями ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Основанием прямоугольного параллелепипеда АВСDA₁B₁C₁D₁ является квадрат АВСD.
Найдите наибольшую возможную величину угла между прямой BD₁ и плоскостью ВDС₁.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями