Задача 109439

Темы:    [ Задачи на максимум и минимум (прочее) ] [ Прямоугольные параллелепипеды ] [ Углы между прямыми и плоскостями ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Основанием прямоугольного параллелепипеда АВСDA₁B₁C₁D₁ является квадрат АВСD.
Найдите наибольшую возможную величину угла между прямой BD₁ и плоскостью ВDС₁.

Решение

  Рассмотрим сечение ВDС₁ данного параллелепипеда (см. рис. слева). Пусть О – точка пересечения диагоналей квадрата АВСD. Так как треугольник DC₁B – равнобедренный, то C₁О – его высота. Пусть Р – точка пересечения диагоналей параллелепипеда, РQ – перпендикуляр к плоскости ВDС₁. Ясно, что точка Р равноудалена от вершин треугольника DC₁B, поэтому Q – центр описанной около него окружности. Так как этот треугольник – остроугольный и равнобедренный, точка Q лежит на отрезке C₁О. Углом между прямой BD₁ и плоскостью ВDС₁ является острый угол α между (BD₁) и её ортогональной проекцией на (ВDС₁), то есть угол РВQ.

                         

  Пусть  AB = a,  АА₁ = b.  Тогда     Длину РQ можно найти, рассмотрев, например, прямоугольник СС₁О₁О, где О₁ – точка пересечения диагоналей квадрата А₁В₁С₁D₁ (см. рис. справа). Из подобия прямоугольных треугольников РОQ и С₁ОО₁ получим, что     Так как     то     Следовательно,

 

  Итак, наибольшее значение α равно arcsin ⅓. Оно достигается при  а = b,  то есть когда данный параллелепипед – куб.

Ответ

arcsin ⅓.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Дата	2007
класс
Класс	11
задача
Номер	5