Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дано натуральное число $n > 1$. Назовём положительную обыкновенную дробь (не обязательно несократимую) хорошей, если сумма её числителя и знаменателя равна $n$. Докажите, что любую положительную обыкновенную дробь, знаменатель которой меньше $n$, можно выразить через хорошие дроби (не обязательно различные) с помощью операций сложения и вычитания тогда и только тогда, когда $n$ — простое число.

Напомним, что обыкновенная дробь — это отношение целого числа к натуральному.

   Решение

---

На клетчатой бумаге нарисован замкнутый путь (по линиям сетки). Доказать, что он имеет чётную длину (сторона клетки имеет длину 1).

   Решение

---

Может ли разность квадратов двух простых чисел быть квадратом натурального числа?

   Решение

---

В треугольнике ABC провели биссектрисы углов A и C. Точки P и Q – основания перпендикуляров, опущенных из вершины B на эти биссектрисы. Докажите, что отрезок PQ параллелен стороне AC.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 104084  (#1)

Тема:   [ Уравнения с модулями ]

Сложность: 2 Классы: 7,8,9

Решите уравнение: |x - 2005| + |2005 - x| = 2006.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 54173  (#2)

Темы:   [ Перенос стороны, диагонали и т.п. ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Средняя линия треугольника ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Боковая сторона трапеции равна одному основанию и вдвое меньше другого.
Докажите, что вторая боковая сторона перпендикулярна одной из диагоналей трапеции.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 104086  (#3)

Темы:   [ Текстовые задачи (прочее) ] [ Арифметика. Устный счет и т.п. ]

Сложность: 2+ Классы: 6,7,8

На вопрос о возрасте его детей математик ответил:
– У нас с женой трое детей. Когда родился наш первенец, суммарный возраст членов семьи был равен 45 годам, год назад, когда родился третий ребёнок – 70 годам, а сейчас суммарный возраст детей – 14 лет.
Сколько лет каждому ребенку, если известно, что у всех членов семьи дни рождения в один и тот же день?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108197  (#4)

Темы:   [ Биссектриса угла (ГМТ) ] [ Средняя линия треугольника ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

В треугольнике ABC провели биссектрисы углов A и C. Точки P и Q – основания перпендикуляров, опущенных из вершины B на эти биссектрисы. Докажите, что отрезок PQ параллелен стороне AC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 104088  (#5)

Темы:   [ Деление с остатком ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Маша задумала натуральное число и нашла его остатки при делении на 3, 6 и 9. Сумма этих остатков оказалась равна 15.
Найдите остаток от деления задуманного числа на 18.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями