Версия для печати
Убрать все задачи

---

Четырёхугольная пирамида SABCD вписана в сферу, центр которой лежит в плоскости основания ABCD . Диагонали AC и BD основания пересекаются в точке H , причём SH – высота пирамиды. Найдите рёбра CS и CD , если CH = 4 , AS = 3 , AD=3 , AB=BS .

   Решение

---

Найдите суммы рядов

  а)  

  б)  

  в)    (r ≥ 2).

   Решение

---

Обозначим через S сумму следующего ряда:

Преобразовав равенство (12.1 ), можно получить уравнение, из которого находится S:

Сумму S можно также найти объединяя слагаемые ряда (12.1 ) в пары:

Наконец, переставив местами соседние слагаемые, получаем еще одно значение S:

Итак, действуя четырьмя разными способами, мы нашли четыре значения суммы S:

Какое же значение имеет сумма S в действительности?

   Решение

---

Дан треугольник ABC. В нём H – точка пересечения высот, I – центр вписанной окружности, O – центр описанной окружности, K – точка касания вписанной окружности со стороной BC. Известно, что отрезки  IO || BC.  Докажите, что отрезки  AO || HK.

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 [Всего задач: 38]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 105177

Темы:   [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Инварианты ] [ Произвольные многоугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Бильярдный стол имеет форму многоугольника (не обязательно выпуклого), у которого соседние стороны перпендикулярны друг другу. Вершины этого многоугольника – лузы, при попадании в которые шар там и остаётся. Из вершины A с (внутренним) углом 90° выпущен шар, который отражается от бортов (сторон многоугольника) по закону "угол падения равен углу отражения". Докажите, что он никогда не вернётся в вершину A.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108103

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Дан треугольник ABC. В нём H – точка пересечения высот, I – центр вписанной окружности, O – центр описанной окружности, K – точка касания вписанной окружности со стороной BC. Известно, что отрезки  IO || BC.  Докажите, что отрезки  AO || HK.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65399

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

а) В таблице m×n расставлены знаки "+" и "–". За один ход разрешается поменять знаки на противоположные в любой строке или столбце. Докажите, что если таблица такими действиями не приводится к таблице из одних плюсов, то в ней есть квадрат 2×2, который тоже не приводится.

б) В таблице m×n расставлены знаки "+" и "–". За один ход разрешается поменять знаки на противоположные в любой строке или столбце или на любой диагонали (угловые клетки тоже считаются диагоналями). Докажите, что если таблица такими действиями не приводится к таблице из одних плюсов, то в ней есть квадрат 4×4, который тоже не приводится.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 [Всего задач: 38]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями