Версия для печати
Убрать все задачи

---

Из Москвы вылетел вертолёт, который пролетел 300 км на юг, потом 300 км на запад, 300 км на север и 300 км на восток, после чего приземлился. Оказался ли он южнее Москвы, севернее её или на той же широте? Оказался ли он восточнее Москвы, западнее Москвы или на той же долготе?

   Решение

---

Если  a ≡ b (mod m)  и  c ≡ d (mod m),  то  a – c ≡ b – d (mod m).

   Решение

---

Две окружности пересекаются в точках A и B. К ним проведена общая касательная, которая касается первой окружности в точке C, а второй – в точке D. Пусть B – ближайшая к прямой CD точка пересечения окружностей. Прямая CB второй раз пересекает вторую окружность в точке E. Докажите, что AD – биссектриса угла CAE.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98361  (#1)

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Обратный ход ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Последовательность {x_n} определяется условиями:   x_n+2 = x_n – ¹/_xn+1   при  n ≥ 1.
Докажите, что среди членов последовательности найдётся ноль. Найдите номер этого члена.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108079  (#2)

Темы:   [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Элементарные (основные) построения циркулем и линейкой ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Гомотетия: построения и геометрические места точек ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Пусть M – середина стороны BC треугольника ABC. Постройте прямую l, удовлетворяющую следующим условиям:  l || BC,  l пересекает треугольник ABC; отрезок прямой l, заключённый внутри треугольника, виден из точки M под прямым углом.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98363  (#3)

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]

Сложность: 2+ Классы: 6,7,8

Первоначально на каждом поле доски 1×n стоит шашка. Первым ходом разрешается переставить любую шашку на соседнюю клетку (одну из двух, если шашка не с краю), так что образуется столбик из двух шашек. Далее очередным ходом каждый столбик можно передвинуть в любую сторону на столько клеток, сколько в нём шашек (в пределах доски); если столбик попал на непустую клетку, он ставится на стоящий там столбик и объединяется с ним. Докажите, что за  n – 1  ход можно собрать все шашки на одной клетке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108080  (#4)

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Угол между касательной и хордой ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Две окружности пересекаются в точках A и B. К ним проведена общая касательная, которая касается первой окружности в точке C, а второй – в точке D. Пусть B – ближайшая к прямой CD точка пересечения окружностей. Прямая CB второй раз пересекает вторую окружность в точке E. Докажите, что AD – биссектриса угла CAE.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98365  (#5)

Темы:   [ Деревья ] [ Раскраски ] [ Куб ] [ Доказательство от противного ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10

Раскрашенный в чёрный и белый цвета кубик с гранью в одну клетку поставили на одну из клеток шахматной доски и прокатили по ней так, что кубик побывал на каждой клетке ровно по одному разу. Можно ли так раскрасить кубик и так прокатить его по доске, чтобы каждый раз цвета клетки и соприкоснувшейся с ней грани совпадали?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями