ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Олимпиады и турниры >> Московская математическая олимпиада >> 1990 год
Варианты:
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 4 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Доледенок А.В.

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD с попарно непараллельными сторонами. На стороне AD выбирается произвольная точка P, отличная от A и D. Описанные окружности треугольников ABP и CDP вторично пересекаются в точке Q. Докажите, что прямая PQ проходит через фиксированную точку, не зависящую от выбора точки P.

Вниз   Решение

Автор: Бернштейн И.Д.

Квадратный лист бумаги разрезали по прямой на две части. Одну из полученных частей снова разрезали на две части, и так много раз. Какое наименьшее число разрезов необходимо, чтобы среди полученных частей могло оказаться ровно 100 двадцатиугольников?

ВверхВниз   Решение

В массиве a[1]...a[n] встречаются по одному разу все целые числа от 0 до n, кроме одного. Найти пропущенное число за время порядка n и с конечной дополнительной памятью.

ВверхВниз   Решение

Автор: Уфнаровский В.А.

Дана бесконечная последовательность цифр. Докажите, что для любого натурального числа n, взаимно простого с числом 10, можно указать такую группу стоящих подряд цифр последовательности, что записываемое этими цифрами число делится на n.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

  с решениями  

Задача 79565

Тема:   [ Средние величины ]
Сложность: 2+
Классы: 8

Докажите, что если  0 < a1 < a2 < ... < a8 < a9,  то   < 3.

Прислать комментарий     Решение

Задача 79570

Темы:   [ Степень вершины ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

В компании из семи мальчиков каждый имеет среди остальных не менее трёх братьев. Докажите, что все семеро – братья.

Прислать комментарий     Решение

Задача 79576

Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Простые числа и их свойства ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

Найдите все простые числа р, q, r, удовлетворяющие равенству  pq + qp = r.

Прислать комментарий     Решение

Задача 79571

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 9

Докажите, что из 53 различных натуральных чисел, не превосходящих в сумме 1990, всегда можно выбрать 2 числа, составляющих в сумме 53.
Прислать комментарий     Решение

Задача 79580

Темы:   [ Замена переменных ]
[ Тригонометрия (прочее) ]
[ Геометрические интерпретации в алгебре ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Найдите наибольшее значение выражения

x$\displaystyle \sqrt{1-y^2}$ + y$\displaystyle \sqrt{1-x^2}$.
Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .