ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79576
Темы:    [ Уравнения в целых числах ]
[ Простые числа и их свойства ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите все простые числа р, q, r, удовлетворяющие равенству  pq + qp = r.


Решение

  Заметим, что  r > 2  и, следовательно, нечётно. Значит, числа p и q разной чётности.
  Пусть  p = 2,  тогда  2q + q² = r.
  Поскольку q нечётно, 2q даёт остаток 2 при делении на 3. Если  q ≠ 3,  то  q не делится на три, а значит,  q² ≡ 1 (mod 3).  Поэтому r кратно 3, что невозможно, так как  r > q > 3.
  Таким образом, остаётся только вариант  p = 2,  q = 3,  r = 2³ + 3² = 17.


Ответ

(2, 3, 17),  (3, 2, 17).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 53
Год 1990
вариант
Класс 10
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .