На стороне AB квадрата ABCD взята точка K, на стороне CD – точка L, на отрезке KL – точка M. Докажите, что вторая (отличная от M) точка пересечения окружностей, описанных около треугольников AKM и MLC, лежит на диагонали AC.

   Решение

Есть шесть кусков сыра разного веса. Известно, что можно разложить сыр на две кучки по три куска так, чтобы кучки весили поровну.
Как можно сделать это за два взвешивания на чашечных весах без гирь, если про любые два куска на глаз видно, какой весит больше?

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

Какую наименьшую длину должен иметь кусок проволоки, чтобы из него можно было согнуть каркас куба с ребром 10 см?
(Проволока может проходить по одному ребру дважды, загибаться на 90° и 180°, но ломать её нельзя.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73717  (#М182)

Темы:   [ Неравенство Коши ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Докажите, что если
  а) a, b и c – положительные числа, то  

  б) a, b, c и d – положительные числа,  

  в) a₁, ..., a_n – положительные числа  (n > 1),  то  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 55350  (#М183)

Темы:   [ Перенос стороны, диагонали и т.п. ] [ Теорема косинусов ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее) ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Найдите высоту трапеции, у которой основания равны a и b (a < b), угол между диагоналями равен 90^o, а угол между продолжениями боковых сторон равен 45^o.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73719  (#М184)

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Рациональные функции (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Автор: Есипенко Г.Е.

Докажите, что для любого натурального числа n  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73720  (#М185)

Темы:   [ Формула включения-исключения ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Автор: Дынкин Е.Б.

На кафтане площадью 1 размещены 5 заплат, площадь каждой из которых не меньше ¹/₂. Докажите, что найдутся две заплаты, площадь общей части которых не меньше ¹/₅.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]