Задача 73720

Темы:    [ Формула включения-исключения ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Дынкин Е.Б.

На кафтане площадью 1 размещены 5 заплат, площадь каждой из которых не меньше ¹/₂. Докажите, что найдутся две заплаты, площадь общей части которых не меньше ¹/₅.

Решение

Обозначим через x_k площадь части кафтана, покрытую ровно k заплатами ( k=0, 1, ..., 5 ). По условию площадь кафтана равна 1 , а сумма площадей заплат– :

Сумма площадей всех 10 попарных пересечений заплат равна

поэтому хотя бы одно из 10 попарных пересечений заплат будет по площади не меньше = (равенство возможно, только если x₀=x₁=x₄=x₅=0 и все 10 попарных пересечений равны по площади!).

Решение задачи M185, различных ее вариантов и обобщений тесно связано с одной замечательной общей формулой для аддитивных функций множества– "формулой включений и исключений". Об этой связи подробно рассказывается в отдельной заметке "Заплаты на кафтане", которая будет помещена в 12 номере журнала.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1973
выпуск
Номер	1
Задача
Номер	М185