Версия для печати
Убрать все задачи

---

Император пригласил на праздник 2015 волшебников, некоторые из которых добрые, а остальные злые. Добрый волшебник всегда говорит правду, а злой может говорить что угодно. При этом волшебники знают, кто добрый и кто злой, а император нет. На празднике император задаёт каждому волшебнику (в каком хочет порядке) по вопросу, на которые можно ответить "да" или "нет". Опросив всех волшебников, император изгоняет одного. Изгнанный волшебник выходит в заколдованную дверь, и император узнаёт, добрый он был или злой. Затем император вновь задает каждому из оставшихся волшебников по вопросу, вновь одного изгоняет, и так далее, пока император не решит остановиться (он может это сделать после любого вопроса). Докажите, что император может изгнать всех злых волшебников, удалив при этом не более одного доброго.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65905  (#9.1)

Темы:   [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

В зоопарке есть 10 слонов и огромные чашечные весы. Известно, что если любые четыре слона встанут на левую чашу весов, а любые три – на правую, то левая чаша перевесит. Пять слонов встали на левую чашу и четыре – на правую. Обязательно ли левая чаша перевесит?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65906  (#9.2)

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

На доске записаны двузначные числа. Каждое число составное, но любые два числа взаимно просты.
Какое наибольшее количество чисел может быть записано?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65907  (#9.3)

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Средняя линия трапеции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

  В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и CE. Точки M и N – основания перпендикуляров, опущенных на прямую DE из точек A и C соответственно. Докажите, что  ME = DN.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65908  (#9.4)

Темы:   [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ] [ Иррациональные неравенства ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Что больше:     или  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65909  (#9.5)

Темы:   [ Теория игр (прочее) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Германн и Чекалинский разложили на столе 13 различных карт. Каждая карта может лежать в одном из двух положений: рубашкой вверх или рубашкой вниз. Игроки должны по очереди переворачивать по одной карте. Проигрывает тот игрок, после хода которого повторится какая-то из предыдущих ситуаций (включая изначальную). Первый ход сделал Чекалинский. Кто сможет выиграть независимо от того, как будет играть соперник?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями