ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел >> глава 11. Последовательности и ряды >> параграф 1. Конечные разности
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 2 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Авторы: Берзиньш А., Изместьев И.В.

На прямоугольном столе разложено несколько одинаковых квадратных листов бумаги так, что их стороны параллельны краям стола (листы могут перекрываться). Докажите, что можно воткнуть несколько булавок таким образом, что каждый лист будет прикреплен к столу ровно одной булавкой.

Вниз   Решение

Автор: Митрофанов И.В.

Дана возрастающая последовательность положительных чисел  $...< a_{-2} < a_{-1} < a_{0} < a_{1} < a_{2} < ...,$  бесконечная в обе стороны. Пусть $b_k$ – наименьшее целое число со свойством: отношение суммы любых $k$ подряд идущих членов данной последовательности к наибольшему из этих $k$ членов не превышает $b_k$. Докажите, что последовательность $b_{1}, b_{2}, b_{3}$, ... либо совпадает с натуральным рядом 1, 2, 3, ..., либо с некоторого момента постоянна.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]      

  с решениями  

Задача 61443  (#11.016)

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Производная (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Экспонентой y = ex называется такая функция, для которой выполнены условия y'(x) = y(x) и y(0) = 1. Какая последовательность {an} будет обладать аналогичными свойствами, если производную заменить на разностный оператор $ \Delta$?

Прислать комментарий     Решение

Задача 61444  (#11.017)

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Интегрирование по частям ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Преобразование Абеля. Для подсчета интегралов используется формула интегрирования по частям. Докажите следующие две формулы, которые являются дискретным аналогом интегрирования по частям и называются преобразованием Абеля:

$\displaystyle \sum\limits_{x=0}^{n-1}$f (x)g(x) = f (n)$\displaystyle \sum\limits_{x=0}^{n-1}$g(x) - $\displaystyle \sum\limits_{x=0}^{n-1}$($\displaystyle \Delta$f (x)$\displaystyle \sum\limits_{z=0}^{x}$g(z)),
$\displaystyle \sum\limits_{x=0}^{n-1}$f (x)$\displaystyle \Delta$g(x) = f (n)g(n) - f (0)g(0) - $\displaystyle \sum\limits_{x=0}^{n-1}$g(x + 1)$\displaystyle \Delta$f (x).


Прислать комментарий     Решение

Задача 61445  (#11.018)

Тема:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Найдите последовательность {an} такую, что $ \Delta$an = n2n. (Вспомните как вычисляют $ \int$xex dx.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 61446  (#11.019)

Тема:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Найдите :

а) $ \sum\limits_{k=1}^{n}$$ {\dfrac{1}{k(k+1)}}$;     д) $ \sum\limits_{k=1}^{n}$$ {\dfrac{4k+1}{k(k+1)(4k^2-1)}}$;
б) $ \sum\limits_{k=2}^{n}$$ {\dfrac{1}{k^2-1}}$;     е) $ \sum\limits_{k=1}^{n}$$ {\dfrac{k-1}{k!}}$;
в) $ \sum\limits_{k=1}^{n}$$ {\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)}}$;     ж) $ \sum\limits_{k=1}^{n}$k! k.
г) $ \sum\limits_{k=1}^{n}$$ {\dfrac{(k-1)\,2^k}{k(k+1)}}$;  

Прислать комментарий     Решение

Задача 61447  (#11.020)

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Тригонометрия (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

При помощи преобразования Абеля вычислите следующие суммы:
а) $ \sum\limits_{k=1}^{n}$k2qk - 1;
б) $ \sum\limits_{k=1}^{n}$k sin kx;
в) $ \sum\limits_{k=1}^{n}$k2cos kx.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .