ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Прасолов В.В., Задачи по планиметрии >> глава 5. Треугольники >> параграф 11. Прямая Эйлера и окружность девяти точек
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 4 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Определение. Последовательность чисел a0, a1,...,an,..., которая удовлетворяет с заданными p и q соотношению

an+2=pan+1+qan (n=0,1,2,...) (11.2)

называется линейной рекуррентной (возвратной) последовательностью второго порядка.
Уравнение
x 2-px-q=0 (11.3)

называется характеристическим уравнением последовательности (a n).
Докажите, что если числа a0, a1 фиксированы, то все остальные члены последовательности {an} определяются однозначно.

Вниз   Решение

24 студента решали 25 задач. У преподавателя есть таблица размером 24×25, в которой записано, кто какие задачи решил. Оказалось, что каждую задачу решил хотя бы один студент. Докажите, что
  а) можно отметить некоторые задачи "галочкой" так, что каждый из студентов решил чётное число (в частности, может быть, нуль) отмеченных задач;
  б) можно отметить некоторые из задач знаком "+", а некоторые из остальных – знаком "–" и приписать каждой задаче некоторое натуральное число баллов так, чтобы каждый студент набрал поровну баллов за задачи, отмеченные знаками "+" и "–".

ВверхВниз   Решение

В таблице размером m×n записаны числа так, что для каждых двух строк и каждых двух столбцов сумма чисел в двух противоположных вершинах образуемого ими прямоугольника равна сумме чисел в двух других его вершинах. Часть чисел стёрли, но по оставшимся можно восстановить стёртые. Докажите, что осталось не меньше чем  (n + m – 1)  чисел.

ВверхВниз   Решение

В тридевятом царстве есть только два вида монет: 16 и 27 тугриков. Можно ли заплатить за одну тетрадку ценой в 1 тугрик и получить сдачу?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 [Всего задач: 10]      

  с решениями  

Задача 56962

Тема:   [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
Сложность: 5+
Классы: 9

Докажите, что прямая Эйлера треугольника ABC параллельна стороне BC тогда и только тогда, когда  tgBtgC = 3.
Прислать комментарий     Решение

Задача 56963

Тема:   [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
Сложность: 5+
Классы: 9

Докажите, что отрезок, высекаемый на стороне AB остроугольного треугольника ABC окружностью девяти точек, виден из ее центра под углом  2|$ \angle$A - $ \angle$B|.
Прислать комментарий     Решение

Задача 56964

Тема:   [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
Сложность: 5+
Классы: 9

Докажите, что если прямая Эйлера проходит через центр вписанной окружности треугольника, то треугольник равнобедренный.
Прислать комментарий     Решение

Задача 56965

Тема:   [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
Сложность: 6
Классы: 9

Вписанная окружность касается сторон треугольника ABC в точках A1, B1 и C1. Докажите, что прямая Эйлера треугольника A1B1C1 проходит через центр описанной окружности треугольника ABC.
Прислать комментарий     Решение

Задача 56966

Тема:   [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
Сложность: 7
Классы: 9

В треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1 и CC1. Пусть  A1A2, B1B2 и C1C2 — диаметры окружности девяти точек треугольника ABC. Докажите, что прямые AA2, BB2 и CC2 пересекаются в одной точке (или параллельны).
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 10]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .