Страница:
<< 1 2
3 >> [Всего задач: 14]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Доска размером 2005×2005 разделена на квадратные клетки со стороной единица. Некоторые клетки доски в каком-то порядке занумерованы числами 1, 2, ... так, что на расстоянии, меньшем 10, от любой незанумерованной клетки найдется занумерованная клетка. Докажите, что найдутся две клетки на расстоянии, меньшем 150, которые занумерованы числами, различающимися более, чем на 23.
(Расстояние между клетками – это расстояние между их центрами.)
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
В пространстве даны шесть точек общего положения. Для каждых двух из них покрасим красным точки пересечения (если они есть) отрезка между ними и поверхности тетраэдра с вершинами в четырех оставшихся точках. Докажите, что число красных точек четно.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
В пространстве имеется 43 точки: 3 желтых и 40 красных. Никакие четыре из них не лежат в одной плоскости.
Может ли количество треугольников с красными вершинами, зацепленных с треугольником с желтыми вершинами, быть равно $2023$?
Жёлтый треугольник зацеплен с красным, если контур красного пересекает часть плоскости, ограниченную жёлтым, ровно в одной точке.
Треугольники, отличающиеся перестановкой вершин, считаются одинаковыми.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Колоду из 54 карт фокусник разложил на несколько кучек, а зритель на всех
картах каждой кучки написал число, равное количеству карт в этой кучке. Затем
фокусник специальным образом перемешал карты и ещё раз разложил их на кучки,
а зритель написал на каждой карте ещё одно число, равное количеству карт в
новой кучке, и т.д. При каком наименьшем количестве раскладок фокусник мог
добиться того, чтобы на разных картах оказались разные множества чисел (как
бы ни располагал их зритель на карте)?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
В стране Нашии есть военные базы, соединённые дорогами. Набор дорог называется
важным, если после закрытия этих дорог найдутся две базы, не соединённые путем. Важный набор называется стратегическим, если он не содержит
меньшего важного набора. Докажите, что множество дорог, каждая из которых
принадлежит ровно одному из двух различных стратегических наборов, образует
важный набор.
Страница:
<< 1 2
3 >> [Всего задач: 14]
Все авторы
>>
Скопенков А.Б. 
