Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      

На окружности $\omega$ зафиксирована точка $A$. Хорды $BC$ окружности $\omega$ выбираются так, что проходят через фиксированную точку $P$. Докажите, что окружности 9 точек треугольников $ABC$ касаются фиксированной окружности, не зависящей от выбора $BC$.

Прислать комментарий

Решение

По окружности $\Omega$ движется точка $P$. На окружности $\Omega$ зафиксированы точки $A$ и $B$. Точка $C$ – произвольная точка внутри круга с границей $\Omega$. Общие внешние касательные к окружностям, описанным около треугольников $APC$ и $BCP$, пересекаются в точке $Q$. Докажите, что все точки $Q$ лежат на двух фиксированных прямых.

Прислать комментарий

Решение

Таблица 2×2024 заполнена целыми числами, причём в первой строке стоят числа из набора {1, ..., 2023}. Оказалось, что какие бы два столбца мы ни выбрали, разность их чисел из первой строки делится на разность их чисел из второй строки. Известно, что все числа во второй строке попарно различны. Обязательно ли тогда все числа в первой строке равны между собой?

Прислать комментарий

Решение

Четырехугольник $ABCD$, вписанный в окружность $\omega$, таков что $AD=BD=AC$. Точка $P$ движется по $\omega$. Прямые $AP$ и $DP$ пересекают прямые $CD$ и $AB$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Прямые $BE$ и $CF$ пересекаются в точке $Q$. Найдите геометрическое место точек $Q$.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]