Страница: << 23 24 25 26 27 28 29 >> [Всего задач: 155]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66107

Темы:   [ Перестановки и подстановки (прочее) ] [ Полуинварианты ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

По кругу стоят 10 детей разного роста. Время от времени один из них перебегает на другое место (между какими-то двумя детьми). Дети хотят как можно скорее встать по росту в порядке возрастания по часовой стрелке (от самого низкого к самому высокому). Какого наименьшего количества таких перебежек им заведомо хватит, как бы они ни стояли изначально?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66120

Темы:   [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ] [ Композиции симметрий ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

В треугольнике ABC c углом A, равным 45°, проведена медиана AM. Прямая b симметрична прямой AM относительно высоты BB₁, а прямая c симметрична прямой AM относительно высоты CC₁. Прямые b и c пересеклись в точке X. Докажите, что  AX = BC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66253

Темы:   [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ ГМТ - прямая или отрезок ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Описанная окружность треугольника ABC пересекает стороны AD и CD параллелограмма ABCD в точках K и L. Пусть M – середина дуги KL, не содержащей точку B. Докажите, что  DM ⊥ AC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66304

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Подобные фигуры ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

На плоскости даны два правильных тринадцатиугольника A₁A₂...A₁₃ и B₁B₂...B₁₃, причём точки B₁ и A₁₃ совпадают и лежат на отрезке A₁B₁₃, а многоугольники лежат по одну сторону от этого отрезка. Докажите, что прямые A₁A₉, B₁₃B₈ и A₈B₉ проходят через одну точку.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66699

Темы:   [ Раскраски ] [ Четность и нечетность ] [ Обход графов ] [ Степень вершины ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

В каждой вершине выпуклого многогранника сходятся три грани. Каждая грань покрашена в красный, жёлтый или синий цвет.
Докажите, что число вершин, в которых сходятся грани трёх разных цветов, чётно.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 23 24 25 26 27 28 29 >> [Всего задач: 155]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями