ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Нилов Ф.

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 27]      



Задача 66264

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Биссектриса делит дугу пополам ]
[ Прямая Симсона ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Нилов Ф.

Центр окружности ω2 лежит на окружности ω1. Из точки X окружности ω1 проведены касательные XP и XQ к окружности ω2 (P и Q – точки касания), которые повторно пересекают ω1 в точках R и S. Докажите, что прямая PQ проходит через середину отрезка RS.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116915

Темы:   [ Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями ]
[ Экстремальные свойства окружности и криволинейных фигур ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

Автор: Нилов Ф.

В окружность Ω вписан четырёхугольник ABCD, диагонали AC и BD которого перпендикулярны. На сторонах AB и CD во внешнюю сторону как на диаметрах построены дуги α и β. Рассмотрим две луночки, образованные окружностью Ω и дугами α и β (см. рис.). Докажите, что максимальные радиусы окружностей, вписанных в эти луночки, равны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66684

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Нилов Ф.

Дан вписанный $n$-угольник. Оказалось что середины всех его сторон лежат на одной окружности. Стороны $n$-угольника отсекают от этой окружности $n$ дуг, лежащих вне $n$-угольника. Докажите, что эти дуги можно покрасить в красный и синий цвет так, чтобы сумма длин красных дуг равнялась сумме длин синих.
Прислать комментарий     Решение


Задача 64774

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Точка M – середина стороны AC треугольника ABC. На отрезках AM и CM выбраны точки P и Q соответственно таким образом, что  PQ = AC/2.  Описанная окружность треугольника ABQ второй раз пересекает сторону BC в точке X, а описанная окружность треугольника BCP, второй раз пересекает сторону AB в точке Y. Докажите, что четырёхугольник BXMY – вписанный.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64805

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Радикальная ось ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10

Автор: Нилов Ф.

В четырёхугольнике ABCD углы A и C – прямые. На сторонах AB и CD как на диаметрах построены окружности, пересекающиеся в точках X и Y. Докажите, что прямая XY проходит через середину K диагонали AC

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 27]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .