ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Спивак А.В.

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: << 1 2 3 4 5 6 [Всего задач: 29]      



Задача 105160

Темы:   [ Обход графов ]
[ Ориентированные графы ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

В стране несколько городов, соединённых дорогами с односторонним и двусторонним движением. Известно, что из каждого города в любой другой можно проехать ровно одним путём, не проходящим два раза через один и тот же город. Докажите, что страну можно разделить на три губернии так, чтобы ни одна дорога не соединяла два города из одной губернии.

Прислать комментарий     Решение

Задача 107981

Темы:   [ Индукция (прочее) ]
[ Процессы и операции ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4+
Классы: 7,8,9

Существует ли конечное слово из букв русского алфавита, в котором нет двух соседних одинаковых подслов, но таковые появляются при приписывании (как справа, так и слева) любой буквы русского алфавита.

Комментарий. Словом мы называем любую последовательность букв русского алфавита, не обязательно осмысленную, подсловом называется любой фрагмент слова. Например, АБВШГАБ - слово, а АБВ, Ш, ШГАБ - его подслова.

Прислать комментарий     Решение

Задача 79598

Темы:   [ Куб ]
[ Шахматная раскраска ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11

Куб размером 10×10×10 сложен из 500 чёрных и 500 белых кубиков в шахматном порядке (кубики, примыкающие друг к другу гранями, имеют различные цвета). Из этого куба вынули 100 кубиков так, чтобы в каждом из 300 рядов размером 1×1×10, параллельных какому-нибудь ребру куба, не хватало ровно одного кубика. Докажите, что число вынутых чёрных кубиков делится на 4.
Прислать комментарий     Решение


Задача 105083

Темы:   [ Выигрышные и проигрышные позиции ]
[ Четность и нечетность ]
[ Обход графов ]
[ Процессы и операции ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Система укреплений состоит из блиндажей. Некоторые из блиндажей соединены траншеями, причём из каждого блиндажа можно перебежать в какой-нибудь другой. В одном из блиндажей спрятался пехотинец. Пушка может одним выстрелом накрыть любой блиндаж. В каждом промежутке между выстрелами пехотинец обязательно перебегает по одной из траншей в соседний блиндаж (даже если по соседнему блиндажу только что стреляла пушка, пехотинец может туда перебежать). Назовём систему надёжной, если у пушки нет гарантированной стратегии поражения пехотинца (то есть такой последовательности выстрелов, благодаря которой пушка поразит пехотинца независимо от его начального местонахождения и последующих передвижений).

  а) Докажите, что система укреплений, изображённая на рисунке, надёжна.
  б) Найдите все надёжные системы укреплений, которые перестают быть надёжными после разрушения любой из траншей.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 [Всего задач: 29]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .