ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79598
Темы:    [ Куб ]
[ Шахматная раскраска ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Куб размером 10×10×10 сложен из 500 чёрных и 500 белых кубиков в шахматном порядке (кубики, примыкающие друг к другу гранями, имеют различные цвета). Из этого куба вынули 100 кубиков так, чтобы в каждом из 300 рядов размером 1×1×10, параллельных какому-нибудь ребру куба, не хватало ровно одного кубика. Докажите, что число вынутых чёрных кубиков делится на 4.

Решение

Разрежем исходный куб ABCDEFGH на кубики 2×2×2. Разобьём все чёрные кубики на 4 группы MA, MC, MF и MH следующим образом: к группе MA отнесём те чёрные кубики, которые расположены в своих кубиках 2×2×2 там же, где расположен чёрный кубик при вершине A (т. е. если он стоит в левом нижнем углу кубика 2×2×2), аналогично определяются группы MC, MF и MH. Таким же образом определяются множества MB, MD, ME и MG белых кубиков. Докажем, что из каждого множества MA, MC, MF и MH вынуто по одинаковому количеству чёрных кубиков.
Рассмотрим множества MA и MB. Эти 2 множества заполняют 25 рядов, параллельных ребру AB. Поэтому из MA и MB вынуто в общей сложности 25 кубиков.
Рассмотрим ещё, например, множество MC. Из множеств MB и MC также вынуто в общей сложности 25 кубиков. А так как все кубики, вынутые из MB — белые, из MC вынуто столько же кубиков, сколько их вынуто из MA. Очевидно, то же количество кубиков вынуто из MF и MH и, значит, общее количество вынутых кубиков делится на 4. Утверждение задачи доказано.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1991
выпуск
Номер 7
Задача
Номер М1294
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 54
Год 1991
вариант
Класс 10
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .