Задача 79598
|
|
 |
Условие
Куб размером 10×10×10 сложен из 500 чёрных и 500 белых кубиков в шахматном порядке (кубики, примыкающие друг к другу гранями, имеют различные цвета). Из этого куба вынули 100 кубиков так, чтобы в каждом из 300 рядов размером 1×1×10, параллельных какому-нибудь ребру куба, не хватало ровно одного кубика. Докажите, что число вынутых чёрных кубиков делится на 4.Решение
Разрежем исходный куб ABCDEFGH на кубики 2×2×2. Разобьём все чёрные кубики на 4 группы MA, MC, MF и MH следующим образом: к группе MA отнесём те чёрные кубики, которые расположены в своих кубиках 2×2×2 там же, где расположен чёрный кубик при вершине A (т. е. если он стоит в левом нижнем углу кубика 2×2×2), аналогично определяются группы MC, MF и MH. Таким же образом определяются множества MB, MD, ME и MG белых кубиков. Докажем, что из каждого множества MA, MC, MF и MH вынуто по одинаковому количеству чёрных кубиков.Рассмотрим множества MA и MB. Эти 2 множества заполняют 25 рядов, параллельных ребру AB. Поэтому из MA и MB вынуто в общей сложности 25 кубиков.
Рассмотрим ещё, например, множество MC. Из множеств MB и MC также вынуто в общей сложности 25 кубиков. А так как все кубики, вынутые из MB — белые, из MC вынуто столько же кубиков, сколько их вынуто из MA. Очевидно, то же количество кубиков вынуто из MF и MH и, значит, общее количество вынутых кубиков делится на 4. Утверждение задачи доказано.
