Страница: << 69 70 71 72 73 74 75 >> [Всего задач: 378]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 97973

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Двоичная система счисления ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

P(х) – многочлен с целыми коэффициентами. Известно, что числа 1 и 2 являются его корнями. Докажите, что найдётся коэффициент, который меньше –1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97983

Темы:   [ Разложение в произведение транспозиций и циклов ] [ Полуинварианты ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Числа  1, 2, 3, ..., n  записываются в некотором порядке:  a₁, a₂, a₃, ..., a_n.  Берётся сумма  S = ^a₁/₁ + ^a₂/₂ + ... + ^a_n/_n.  Найдите такое n, чтобы среди таких сумм (при всевозможных перестановках  a₁, a₂, a₃, ..., a_n)  встретились все целые числа от n до  n + 100.

 

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98029

Темы:   [ Замощения костями домино и плитками ] [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Имеется прямоугольная доска m×n, разделённая на клетки 1×1. Кроме того, имеется много косточек домино размером 1×2. Косточки уложены на доску, так что каждая косточка занимает две клетки. Доска заполнена не целиком, но так, что сдвинуть косточки невозможно (доска имеет бортики, так что косточки не могут выходить за пределы доски). Докажите, что число непокрытых клеток
  а) меньше  ^mn/₄;
  б) меньше  ^mn/₅.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98524

Темы:   [ Теория игр (прочее) ] [ Таблицы и турниры (прочее) ] [ Замощения костями домино и плитками ] [ Десятичная система счисления ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Лёша задумал двузначное число (от 10 до 99). Гриша пытается его отгадать, называя двузначные числа. Если Гриша правильно называет число, или же одну цифру называет правильно, а в другой ошибается не более чем на единицу, то Лёша отвечает "тепло"; в остальных случаях Лёша отвечает "холодно". (Например, если задумано число 65, то назвав 65, 64, 66, 55 или 75, Гриша услышит в ответ "тепло", а в остальных случаях услышит "холодно".)
  а) Покажите, что нет способа, при котором Гриша гарантированно узнает число, истратив 18 попыток.
  б) Придумайте способ, при котором Гриша гарантированно узнает число, истратив 24 попытки (какое бы число ни задумал Лёша).
  в) А за 22 попытки получится?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110059

Темы:   [ Тетраэдр (прочее) ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Докажите, что если у тетраэдра два отрезка, идущие из концов некоторого ребра в центры вписанных окружностей противолежащих граней, пересекаются, то отрезки, выпущенные из концов скрещивающегося с ним ребра в центры вписанных окружностей двух других граней, также пересекаются.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 69 70 71 72 73 74 75 >> [Всего задач: 378]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями