Каталог по авторам

Все задачи автора

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 118]

Задача 64621

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Берлов С.Л.

Все клетки квадратной таблицы 100×100 пронумерованы в некотором порядке числами от 1 до 10000. Петя закрашивает клетки по следующим правилам. Вначале он закрашивает k клеток по своему усмотрению. Далее каждым ходом Петя может закрасить одну еще не закрашенную клетку с номером a, если для неё выполнено хотя бы одно из двух условий: либо в одной строке с ней есть уже закрашенная клетка с номером меньшим, чем a; либо в одном столбце с ней есть уже закрашенная клетка с номером большим, чем a. При каком наименьшем k независимо от исходной нумерации Петя за несколько ходов сможет закрасить все клетки таблицы?

Прислать комментарий

Решение

Задача 64763

Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Индукция в геометрии	]
	[	Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Берлов С.Л.

В выпуклом n-угольнике проведено несколько диагоналей. Проведённая диагональ называется хорошей, если она пересекается (по внутренним точкам) ровно с одной из других проведённых диагоналей. Найдите наибольшее возможное количество хороших диагоналей.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64767

Темы:	[	Рациональные и иррациональные числа	]
Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Авторы: Богданов И.И., Берлов С.Л.

В республике математиков выбрали число α > 2 и выпустили монеты достоинствами в 1 рубль, а также в α^k рублей при каждом натуральном k. При этом α было выбрано так, что достоинства всех монет, кроме самой мелкой, иррациональны. Могло ли оказаться, что любую сумму в натуральное число рублей можно набрать этими монетами, используя монеты каждого достоинства не более 6 раз?

Прислать комментарий

Решение

Задача 65095

Темы:	[	Четырехугольник (неравенства)	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Сумма внутренних и внешних углов многоугольника	]
	[	Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Берлов С.Л.

Внутри выпуклого четырёхугольника ABCD, в котором AB = CD, выбрана точка P таким образом, что сумма углов PBA и PCD равна 180°.
Докажите, что PB + PC < AD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65252

Темы:	[	Теория алгоритмов	]
	[	Шахматная раскраска	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Берлов С.Л., Магазинов А.

Поле представляет собой клетчатый квадрат 41×41, в одной из клеток которого замаскирован танк. Истребитель за один выстрел обстреливает одну клетку. Если произошло попадание, танк переползает на соседнюю по стороне клетку поля, если нет – остаётся на месте. При этом после выстрела пилот истребителя не знает, произошло ли попадание. Для уничтожения танка надо попасть в него два раза. Каким наименьшим числом выстрелов можно обойтись для того, чтобы гарантировать, что танк уничтожен?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 118]