|
|
 |
Условие
Куб со стороной 20 разбит на 8000 единичных кубиков, и в каждом кубике записано число. Известно, что в каждом столбике из 20 кубиков, параллельном ребру куба, сумма чисел равна 1 (рассматриваются столбики всех трёх направлений). В некотором кубике записано число 10. Через этот кубик проходит три слоя 1×20×20, параллельных граням куба. Найдите сумму всех чисел вне этих слоёв.
Решение
Через заданный кубик K проходят один горизонтальный слой Г и два вертикальных слоя. Сумма всех чисел в 361 вертикальных столбиках, не входящих в последние два слоя, равна 361. Из полученной суммы надо вычесть сумму S чисел, лежащих в кубиках, на пересечении этих столбиков с Г (таких кубиков 361). Эти кубики полностью покрываются 19 столбиками, лежащими в Г. Сумма всех чисел в этих столбиках (она равна 19) превышает S на сумму 19 чисел, лежащих в перпендикулярном им столбике, содержащем K. Последняя сумма очевидно равна 1 – 10 = –9. Отсюда S = 19 – (–9) = 28. Окончательно имеем: 361 – 28 = 333.
Ответ
333.
Замечания
1. Знающие формулу включения-исключения легко могут найти ответ с её помощью: 400 – 3·20 + 3·1 – 10 = 333.
2. 3 балла.
3. Ср. с задачей 107636.
