Информация о задаче

Задача 87468

Тема:

[

Высота пирамиды (тетраэдра)

]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 6 и острым углом, равным 15^o. Все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45^o. Найдите объем пирамиды.

Решение

Пусть угол при вершине C прямоугольного треугольника ABC равен 90^o, а угол при вершине A равен 15^o. Так как боковые ребра DA, DB и DC пирамиды ABCD образуют равные углы с плоскостью основания, то высота DO пирамиды проходим через центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника ABC, т.е. через середину O гипотенузы AB. Тогда DAO - угол бокового ребра с плоскостью основания пирамиды. По условию задачи $\angle$ DAO = 45^o. Из прямоугольного треугольника AOD находим, что DO = OA = ${\frac{1}{2}}$ AB = ${\frac{1}{2}}$ 6 = 3.

Пусть CK - высота прямоугольного треугольника ABC. Угол KOC - внешний угол равнобедренного треугольника AOC, поэтому

$\displaystyle \angle$ KOC = 2^. $\displaystyle \angle$ OAC = 2^.15^o = 30^o.

Из прямоугольного треугольника KOC находим, что

CK = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ OC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ 6 = 3/2.

Следовательно,

V(ABCD) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ S(ABC)^.DO = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AB^.CK^.DO = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ 6^.(3/2)^.3 = 9/2.

Ответ

4.5.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7980