|
|
 |
Условие
Какое наибольшее количество различных целых чисел можно выписать в ряд так, чтобы сумма каждых 11 подряд идущих чисел равнялась 100 или 101?
Решение
Оценка. Предположим, что получилось выписать такие различные числа $x_{1}, ..., x_{23}$, что сумма каждых 11 подряд идущих равна $A$ или $B$. Пусть $S_k = x_k + ... + x_{k+10}$. Заметим, что $S_k \ne S_{k+1}$ (иначе $x_k = x_{k+11}$). Значит, $S_k = S_{k+2}$. Поскольку $x_{1} + S_{2} + S_{13} = S_{1} + S_{12} + x_{23}$, то $x_{1} = x_{23}$. Противоречие.
Пример. Выберем 10 натуральных чисел с шагом 3, а одиннадцатое – дополняющее их сумму до 100. Тогда ряд $x_{1}, ..., x_{11}, x_{1} + 1, x_{2} - 1, x_{3} + 1, x_{4} - 1, ..., x_{11} + 1$ будет искомым. Например, так: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, -35, 1, 2, 7, 8, 13, 14, 19, 20, 25, 26, –34.
Ответ
22 числа.
Замечания
4 балла
