|
|
 |
Условие
Цифры натурального числа $n$ > 1 записали в обратном порядке и результат умножили на $n$. Могло ли получиться число, записываемое только единицами?
Решение 1
Предположим, что так получилось для чисел $n = \overline{a_k...a_0}$ и $m = \overline{a_0...a_k}$.
Последняя цифра числа $a_ka_0$ совпадает с последней цифрой $nm$, то есть равна 1. Это возможно только в трёх случаях: $a_0$ и $a_k$ – две девятки, тройка и семёрка или две единицы. В первом случае $(9\cdot 10^k)^2 \leqslant nm < (10\cdot10^k)^2$, то есть $nm$ начинается на 8 или 9. Во втором случае аналогично $21\cdot10^{2k} \leqslant nm < 32\cdot10^{2k}$, то есть $nm$ начинается на $2$ или $3$. Следовательно, $a_k = a_0 = 1$.
Заметим, что $nm = b_0\cdot10^{2k} + b_1\cdot10^{2k-1} + ... + b_1\cdot10 + b_0$, где $b_i = a_0a_{k-i} + a_1a_{k-i+1} + ... + a_ia_k$.
С другой стороны $10^{2k} \leqslant nm < 4\cdot10^{2k}$, значит, $nm = 10^{2k} + 10^{2k-1} + ... + 10 + 1$.
Сравним два выражения $nm$ и покажем, что все соответствующие слагаемые равны. Для первого слагаемого это так. Пусть это верно для $i$ первых слагаемых. Тогда $b_{2k-i}\leqslant 1$, иначе первое выражение больше,
поскольку $10^{2k-i} > 10^{2k-i-1} + ... + 1$. Ещё у выражений совпадают и последние $i$ слагаемых, поэтому $b_i > 0$ (иначе выражения будут отличаться $(i+1)$-й цифрой справа). Значит и $b_i = 1$.
В частности, $b_k = 1$. Но $b_k \geqslant a_0^2 + a_k^2 =2$ при $k > 0$. Следовательно, $k = 0$, то есть $n = 1$, что противоречит условию.
Решение 2
Заметим сначала, что произведение двух $k$-значных чисел – либо $(2k-1)$-значное число, либо $2k$-значное.
Пусть даны числа $\overline{a_{k}a_{k-1}...a_{2}a_{1}}$ и $\overline{a_{1}a_{2}...a_{k-1}a_{k}}$. Представим себе, что мы умножаем их в столбик.
В самом правом разряде будет стоять $a_1a_k$ (возможно, с переносом, который уйдёт в следующие разряды), и в $(2k-1)$-м справа разряде тогда – минимум $a_1a_k$. По условию, $a_1a_k$ оканчивается на 1. Если есть ещё и перенос, то $a_1a_k$ не меньше 11, и как минимум этот же перенос есть и в $(2k-1)$-м разряде. Но произведение двух цифр не может дать 11, то есть $a_1a_k$ ещё больше. Значит, в $(2k-1)$-м разряде после всех переносов должно получиться минимум $111$ (иначе в итоге не получится число из одних единиц), что невозможно – в нашем произведении будет слишком много цифр (не меньше $2k+1$). Поэтому переноса нет и $a_1 = a_k = 1$. Тогда произведение наших чисел будет меньше чем $(2\cdot 10^{k-1})\cdot(2\cdot 10^{k-1}) = 4\cdot 10^{2k-2}$, то есть в произведении $2k–1$ разрядов.
Посмотрим теперь на второй разряд справа. Там стоит $a_ka_2+a_{k-1}a_1$, возможно с переносом. Если перенос есть, то минимум такой же перенос будет и в $(2k-2)$-м разряде, и единица в $(2k-1)$-м разряде испортится. Значит, переноса нет, и $a_ka_2 + a_{k-1}a_1 = 1$. Аналогично и в третьем разряде (справа и слева) переноса нет и там 1, и так далее. Так мы дойдём до середины и получим, что там тоже 1 без переноса. Но на среднем месте стоит $a_1^2 + ... + a_k^2$, что не меньше 2 (ведь $a_1 = a_k = 1$). Противоречие. Значит, число из одних единиц получить нельзя.
Ответ
Не могло.
Замечания
9 баллов
