Задача 66138

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Экстремальные свойства окружности и криволинейных фигур ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Кожевников П.А.

Точка M лежит на стороне AB треугольника ABC,  AM = a,  BM = b,  CM = c,  c < a,  c < b.
Найдите наименьший радиус описанной окружности такого треугольника.

Решение

  Пусть K – середина AB и  a ≥ b.  Так как  MK = ½ (a – b),  то по неравенству треугольника  CK ≤ ½ (a – b) + c < ½ (a – b) + b = ½ (a + b) = ½ AB.  Значит, точка C лежит внутри окружности, построенной на AB как на диаметре; следовательно, угол C – тупой.
  Пусть O – центр описанной окружности Ω треугольника ABC. Так как хорда AB фиксирована, то радиус будет наименьшим, когда угол AOB – наибольший. Так как  ∠C = 180° – ½ ∠AOB,  то угол C должен быть наименьшим.
  С другой стороны, точка C лежит на окружности с центром в точке M и радиусом c. Докажем, что угол C будет наименьшим, когда эта окружность касается Ω. Пусть это не так и указанные окружности пересекаются в точках C₁ и C₂ (рис. справа). Тогда, выбрав точку C на меньшей дуге C₁C₂ (вне большой окружности), получим, что  ∠C < ∠AC₁B = ∠AC₂B.  Противоречие.

  Так как окружности касаются, то точки O, M и C лежат на одной прямой (рис. слева). Обозначим искомый радиус через R. По теореме о произведении длин отрезков хорд  с(2R – с) = ab,  откуда  R = ½ (^ab/_c + c).

Ответ

½ (^ab/_c + c).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Дата	2017-04-16
класс
Класс	8-9
задача
Номер	4