Задача 65556

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Заславский А.А.

Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон BC, CA и AB в точках A', B' и C'. Известно, что  AA' = BB' = CC'.
Обязательно ли треугольник ABC правильный?

Решение

В треугольниках CAA' и CBB' равны две пары сторон:  AA' = BB',  CB' = CA',  а угол C общий, поэтому углы CAA' и CBB' либо равны, либо дополняют друг друга до 180° (см. решение задачи 108120). Последнее невозможно, так как сумма этих двух углов меньше суммы углов A и B. Значит, треугольники CAA' и CBB' равны, откуда   AC = BC.  Аналогично  AB = AC.

Ответ

Обязательно.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	26
Дата	2004/2005
вариант
Вариант	осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
задача
Номер	2