Задача 58451

Темы:    [ Теорема Паскаля ] [ Применение проективных преобразований, сохраняющих окружность ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Две пары подобных треугольников ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11 Название задачи: Теорема Паскаля.

Условие

В окружность S вписан шестиугольник ABCDEF. Докажите, что точки пересечения прямых AB и DE, BC и EF, CD и FA лежат на одной прямой.

Решение

Рассмотрим проективное преобразование, переводящее окружность S в окружность, а точки пересечения прямых AB и DE, BC и EF – в бесконечно удаленные точки (см. задачу 58425). Наша задача свелась к задаче 56552.

Замечания

Возможно решить эту задачу и другим способом, воспользовавшись теоремой Менелая, теоремой о произведении секущей на её внешнюю часть и подобием треугольников.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	30
Название	Проективные преобразования
Тема	Проективная геометрия
параграф
Номер	4
Название	Применение проективных преобразований, сохраняющих окружность
Тема	Применение проективных преобразований, сохраняющих окружность
задача
Номер	30.043