ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 58106
УсловиеНа плоскости дано n фигур. Пусть Si1...ik – площадь пересечения фигур с номерами
i1, ..., ik, a S – площадь части плоскости, покрытой данными фигурами; Mk – сумма всех чисел Si1...ik. Докажите, что: Решение 1а) Обозначим через Wm площадь части плоскости, покрытой ровно m фигурами. Эта часть состоит из кусков, каждый из которых покрыт какими-то определенными m фигурами. Площадь каждого такого куска при вычислении Mk учитывается раз. Поэтому Следовательно,Остается заметить, что S = W1 + ... + Wn. б) Согласно а) (считается, что если k > i, то Cik = 0). Поэтому достаточно проверить, что Cim+1 – Cim+2 + Cim+3 – ... – (–1)m+nCin ≥ 0 при i ≤ n. Воспользуемся известным тождествомОстается заметить, что при i ≤ n. Решение 2 а) Индукция по n. База (n = 1) очевидна. б) Индукция проводится аналогично а). Пусть, например, m четно. Тогда (в тех же обозначениях) ЗамечанияДоказываемая в а) формула – полный аналог формулы включения-исключения (задача 60435). Ее доказательство получается из доказательства формулы включения-исключения заменой слова "множество" на слово "фигура" и выражения "количество элементов" – на "площадь". Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|