Условие
На плоскости расположено
n точек, причем площадь
любого треугольника с вершинами в этих точках не превосходит 1.
Докажите, что все эти точки можно поместить в треугольник площади 4.
Решение
Выберем среди всех треугольников с вершинами в данных
точках треугольник наибольшей площади. Пусть это будет
треугольник
ABC. Проведем через вершину
C прямую
lc|
AB.
Если точки
X и
A лежат по разные стороны от прямой
lc,
то
SABX >
SABC. Поэтому все данные точки лежат по одну
сторону от прямой
lc. Аналогично, проводя через точки
B и
A
прямые
lb|
AC и
la|
BC, получаем, что все данные точки
находятся внутри (или на границе) треугольника, образованного
прямыми
la,
lb и
lc. Площадь этого треугольника ровно
в 4 раза больше площади треугольника
ABC, поэтому она не
превосходит 4.
Источники и прецеденты использования
