ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58062
Тема:    [ Наименьшая или наибольшая площадь (объем) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости расположено n точек, причем площадь любого треугольника с вершинами в этих точках не превосходит 1. Докажите, что все эти точки можно поместить в треугольник площади 4.

Решение

Выберем среди всех треугольников с вершинами в данных точках треугольник наибольшей площади. Пусть это будет треугольник ABC. Проведем через вершину C прямую lc| AB. Если точки X и A лежат по разные стороны от прямой lc, то SABX > SABC. Поэтому все данные точки лежат по одну сторону от прямой lc. Аналогично, проводя через точки B и A прямые lb| AC и  la| BC, получаем, что все данные точки находятся внутри (или на границе) треугольника, образованного прямыми la, lb и lc. Площадь этого треугольника ровно в 4 раза больше площади треугольника ABC, поэтому она не превосходит 4.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 20
Название Принцип крайнего
Тема Принцип крайнего
параграф
Номер 3
Название Наименьшая или наибольшая площадь
Тема Наименьшая или наибольшая площадь (объем)
задача
Номер 20.016

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .