Версия для печати
Убрать все задачи

---

В музее Гугенхайм в Нью-Йорке есть скульптура, имеющая форму куба. Жук, севший на одну из вершин, хочет как можно быстрее осмотреть скульптуру, чтобы перейти к другим экспонатам (для этого достаточно попасть в противоположную вершину куба). Какой путь ему выбрать?

   Решение

---

Окружность ω описана около остроугольного треугольника ABC. На стороне AB выбрана точка D, а на стороне BC – точка E так, что  DE || AC.  Точки P и Q на меньшей дуге AC окружности ω таковы, что  DP || EQ.  Лучи QA и PC пересекают прямую DE в точках X и Y соответственно. Докажите, что  ∠XBY + ∠PBQ = 180°.

   Решение

---

Найдите объём правильной треугольной пирамиды, боковые рёбра которой, наклонены к плоскости основания под углом α и удалены от середины противоположной стороны основания на расстояние l .

   Решение

---

В пирамиде ABCD двугранные углы с рёбрами AB , BC и CA равны α1 , α2 и α3 соответственно, а площади треугольников ABD , BCD и CAD равны соответственно S1 , S2 и S3 . Площадь треугольника ABC равна S . Докажите, что S = S1 cos α1 + S2 cos α2 + S3 cos α3 (некоторые из углов α1 , α2 и α3 могут быть тупыми).

   Решение

---

Докажите, что число Фибоначчи F_n совпадает с ближайшим целым числом к , то есть

   Решение

---

Числа от 1 до 37 записали в строку так, что сумма любых первых нескольких чисел делится на следующее за ними число.
Какое число стоит на третьем месте, если на первом месте написано число 37, а на втором – 1?

   Решение

---

Какой остаток даёт  x + x³ + x⁹ + x²⁷ + x⁸¹ + x²⁴³  при делении на  x – 1?

   Решение

---

Натуральные числа от 1 до 200 разбили на 50 множеств.
Докажите, что в одном из них найдутся три числа, являющиеся длинами сторон некоторого треугольника.

   Решение

Тема:    [ Поворот (прочее) ]

Сложность: 7 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

По арене цирка, являющейся кругом радиуса 10 м, бегает лев. Двигаясь по ломаной линии, он пробежал 30 км. Докажите, что сумма всех углов его поворотов не меньше 2998 радиан.

Решение

Предположим, что лев бежал по ломаной A₁A₂...A_n. Распрямим траекторию движения льва следующим образом. Повернем относительно точки A₂ арену цирка и дальнейшую траекторию так, чтобы точка A₃ попала на луч A₁A₂. Затем повернем относительно точки A₃ арену цирка и дальнейшую траекторию так, чтобы точка A₄ попала на луч A₁A₂ и т. д. Центр O арены цирка переходит при этом последовательно в точки O₁ = O, O₂,..., O_{n - 1}; точки A₁,..., A_n переходят в точки A₁',..., A_n', лежащие на одной прямой (рис.).
Пусть   — угол поворота льва в точке A_i'. Тогда O_{i - 1}A_i'O_i = и  A_i'O_{i - 1} = A_i'O_i10, поэтому O_iO_{i - 1}10. Следовательно, 30 000 = A₁'A_n'A₁'O₁ + O₁O₂ +...+ O_{n - 2}O_{n - 1} + O_{n - 1}A_n'10 + 10( +...+ ) + 10, т. е. +...+ 2998.

Источники и прецеденты использования