Информация о задаче

Задача 57636

Тема:

[

Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее)

]

Сложность: 3
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и BE. Найдите величину угла C, если известно, что AD^.BC = BE^.AC и AC $\ne$ BC.

Решение

Величины AD^.BC sin ADB и BE^.AC sin AEB равны, так как они равны удвоенной площади треугольника ABC. Поэтому sin ADB = sin AEB. Возможны два случая.
1. $\angle$ ADB = $\angle$ AEB; в этом случае точки A, E, D, B лежат на одной окружности, поэтому $\angle$ EAD = $\angle$ EBD, т. е. $\angle$ A = $\angle$ B, чего не может быть по условию.
2. $\angle$ ADB + $\angle$ AEB = 180^o; в этом случае $\angle$ ECD + $\angle$ EOD = 180^o, где O — точка пересечения биссектрис. Так как $\angle$ EOD = 90^o + $\angle$ C/2 (задача 5.3), то $\angle$ C = 60^o.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	12
Название	Вычисления и метрические соотношения
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер	7
Название	Вычисление углов
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее)
задача
Номер	12.053