Задача 57524

Темы:    [ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ] [ Теорема косинусов ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Рассмотрим все остроугольные треугольники с заданными стороной a и углом α.
Чему равен максимум суммы квадратов длин сторон b и c?

Решение

По теореме косинусов  b² + c² = a² + 2bc cos α. Так как  2bc ≤ b² + c²  и  cos α > 0,  то  b² + c² ≤ a² + (b² + c²) cos α,  то есть
  Равенство достигается при  

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	11
Название	Задачи на максимум и минимум
Тема	Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.
параграф
Номер	1
Название	Треугольник
Тема	Экстремальные свойства треугольника (прочее)
задача
Номер	11.004