Задача 57002

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Через центр O правильного треугольника ABC проведена прямая, пересекающая прямые BC, CA и AB в точках A₁, B₁ и C₁.
Докажите, что одно из чисел ¹/_OA1, ¹/_OB1 и ¹/_OC1 равно сумме двух других.

Решение

  Рассмотрим случай, когда точка C₁ лежит на продолжении стороны AB за точку A, и докажем, что  ¹/_OA1 = ¹/_OB1 + ¹/_OC1.

  Опустим перпендикуляры B₁D, OE и A₁F на AB, B₁K на OE и OL на A₁F. Пусть  OK = x,  OE = r,  A₁L = y,  тогда     Треугольники A₁OL, OB₁K и OC₁E подобны, поэтому достаточно доказать, что
¹/_A1L = ¹/_OK + ¹/_OE,  то есть что  ¹/_y = ¹/_x + ¹/_r.
  Из подобия тех же треугольников  ^OL/_A1L = ^BK/_OK,  то есть     что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	14
Название	Задачи для самостоятельного решения
задача
Номер	05.143