Условие
Какие стороны пересекает прямая Эйлера в остроугольном
и тупоугольном треугольниках?
Решение
Пусть
AB >
BC >
CA. Легко проверить, что для
остроугольного и тупоугольного треугольников точка
H пересечения высот
и центр
O описанной окружности расположены именно так, как
на рис. (т. е. для остроугольного треугольника точка
O лежит
внутри треугольника
BHC1, а для тупоугольного точки
O и
B лежат
по одну сторону от прямой
CH). Поэтому в остроугольном
треугольнике прямая Эйлера пересекает наибольшую сторону
AB
и наименьшую сторону
AC, а в тупоугольном треугольнике —
наибольшую сторону
AB и среднюю по длине сторону
BC.
Источники и прецеденты использования
