ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56880
Темы:    [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.
б) Пусть H – точка пересечения высот треугольника ABC, R – радиус описанной окружности. Докажите, что  AH² + BC² = 4R²  и  AH = BC |ctg α|.


Решение

  Первый способ. а) Проведём через вершины треугольника ABC прямые, параллельные его противоположным сторонам. В результате получим треугольник A1B1C1, серединами сторон которого являются точки A, B и C. Высоты треугольника ABC являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника A1B1C1, поэтому центр описанной окружности треугольника A1B1C1 является точкой пересечения высот треугольника ABC.

  Второй способ. Если треугольник остроугольный, то его высоты лежат на биссектрисах ортотреугольника (см. задачу 52866) и поэтому пересекаются в одной точке.
  Если же треугольник тупоугольный, то аналогично доказывается, что одна его высота лежит на биссектрисе одного из углов ортотреугольника, а две другие – на биссектрисах внешних углов ортотреугольника.
  Для прямоугольного треугольника утверждение очевидно.

б) Точка  H является центром описанной окружности треугольника A1B1C1, поэтому   4R² = B1H² = B1A² + AH² = BC² + AH².  Следовательно,

Замечания

Другие доказательства п.а) см. в статье В.В. Прасолова "Несколько доказательств теоремы о высотах треугольника" ("Математика в школе", 1988, №1, с.72).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 5
Название Треугольники
параграф
Номер 6
Название Разные задачи
Тема Треугольники (прочее)
задача
Номер 05.045

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .