Информация о задаче

Задача 56589

Тема:

[

Четыре точки, лежащие на одной окружности

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Диагонали AC и CE правильного шестиугольника ABCDEF разделены точками M и N так, что AM : AC = CN : CE = $\lambda$ . Найдите $\lambda$ , если известно, что точки B, M и N лежат на одной прямой.

Решение

Так как ED = CB, EN = CM и $\angle$ DEC = $\angle$ BCA = 30^o (рис.), то $\triangle$ EDN = $\triangle$ CBM. Пусть $\angle$ MBC = $\angle$ NDE = $\alpha$ , $\angle$ BMC = $\angle$ END = $\beta$ . Ясно, что $\angle$ DNC = 180^o - $\beta$ . Рассматривая треугольник BNC, получаем $\angle$ BNC = 90^o - $\alpha$ . Поскольку $\alpha$ + $\beta$ = 180^o - 30^o = 150^o, то $\angle$ DNB = $\angle$ DNC + $\angle$ CNB = (180^o - $\beta$ ) + (90^o - $\alpha$ ) = 270^o - ( $\alpha$ + $\beta$ ) = 120^o. Поэтому точки B, O, N и D (O — центр шестиугольника) лежат на одной окружности. При этом CO = CB = CD, т. е. C — центр этой окружности, следовательно, $\lambda$ = CN : CE = CB : CA = 1 : $\sqrt{3}$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	5
Название	Четыре точки, лежащие на одной окружности
Тема	Четыре точки, лежащие на одной окружности
задача
Номер	02.046