Задача 55776

Темы:    [ Подобные треугольники и гомотетия (построения) ] [ Диаметр, хорды и секущие ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте хорду данной окружности, которую два данных радиуса разделили бы на три равные части.

Подсказка

Примените гомотетию.

Решение

Предположим, что нужная хорда AB построена. Пусть радиусы OP и OQ данной окружности разделили её на три отрезка: AM = MN = NB. Тогда середина F хорды AB является и серединой отрезка MN. Поэтому точка K пересечения окружности с лучом OF — середина дуги PQ. Следовательно, дуги AP и BQ равны, а хорды PQ и AB параллельны.

Продолжим радиусы OA и OB до пересечения с прямой PQ в точках A₁ и B₁ соответственно. Поскольку треугольники AOB и A₁OB₁ гомотетичны относительно точки O, то из равенства AM = MN = NB следует равенство A₁P = PQ = QB₁.

Отсюда вытекает следующий способ построения. На прямой PQ откладываем вне окружности отрезки PA₁ и QB₁, равные отрезку PQ. Пересечения лучей A₁O и B₁O с данной окружностью есть искомые точки A и B.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6419