Задача 55771

Темы:    [ Подобные треугольники и гомотетия (построения) ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Дан остроугольный треугольник ABC. С помощью циркуля и линейки постройте на его сторонах AB и BC соответственно точки X и Y, для которых
BX = XY = YC.

Подсказка

Рассмотрите углы при основаниях равнобедренных треугольников XYC и BXY или примените гомотетию.

Решение

  Первый способ. Предположим, что нужные точки X и Y построены. Обозначим  ∠B = β.  Поскольку треугольник BXY – равнобедренный  (BX = XY),  то  ∠XYB = ∠XBY = β,  а так как XYB – внешний угол равнобедренного треугольника XYC  (XY = YC),  то  ∠XCY = ^β/₂.

  Отсюда вытекает следующий способ построения. От луча CB в полуплоскости, содержащей вершину A, откладываем луч под углом, равным половине угла B. Этот луч пересекает сторону AB в искомой точке X. Затем от луча XC в полуплоскости, содержащей вершину B, откладываем луч под тем же углом. Пересечение этого луча со стороной BC даёт искомую точку Y.

  Второй способ. Возьмём на стороне AB произвольную точку X₁, отличную от B. Пусть окружность радиуса BX₁ с центром X₁ пересекает луч BC в точках B и Y₁. На прямой BC построим такую точку C₁, что  Y₁C₁ = BX₁  и точка Y₁ лежит между B и C₁. При гомотетии с центром B, переводящей точку C₁ в C, точки X₁ и Y₁ переходят в искомые точки X и Y.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6414