Задача 55739

Тема:    [ Неопределено ]

Сложность: 0 Классы: 8,9

Условие

Дана трапеция ABCD с основаниями AD=a и BC=b . Точки M и N лежат на сторонах AB и CD соответственно, причём отрезок MN параллелен основаниям трапеции. Диагональ AC пересекает этот отрезок в точке O . Найдите MN , если известно, что площади треугольников AMO и CNO равны.

Решение

Диагонали AC и MN четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O и при этом треугольники AMO и CNO равновелики, значит, MC || AN (из равенства площадей треугольников AMN и ACN следует равенство их высот, опущенных из вершин M и C ).
Треугольники MCN и AND подобны, поэтому = . Треугольники MBC и AMN также подобны, поэтому = . Следовательно, = . Отсюда находим, что MN2=AD· BC = ab .
M.А.Волчкевич.
Московская олимпиада 2010, 10 кл.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6023