Задача 55657

Темы:    [ Композиции симметрий ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что три прямые, симметричные относительно сторон треугольника прямой, проходящей через точку пересечения высот треугольника, пересекаются в одной точке.

Подсказка

Выразите угол между двумя указанными прямыми через один из углов треугольника и докажите, что эти прямые пересекаются на описанной окружности треугольника.

Решение

  Пусть ABC – произвольный треугольник, H – точка пересечения его высот, l – прямая, проходящая через точку H, l_c и H_c – образы прямой l и точки H при симметрии относительно прямой AB, l_a и H_a – относительно BC, l_b и H_b – относительно AC.
  Заметим, что точки H_a, H_b, H_c лежат на описанной окружности треугольника ABC (см. задачу 55463).   Прямая l_b получена из прямой l_c композицией симметрий относительно прямых AB и AC, следовательно, угол между l_c и l_b равен 2∠A. Поскольку     то прямые l_c и l_b пересекаются на описанной окружности треугольника ABC. Аналогично для прямых l_c, l_a и l_a, l_b.
  Прямые l_c, l_a и l_b пересекают окружность в точках H_c, H_a и H_b соответственно. Если треугольник не прямоугольный, то точки H_c, H_a и H_b различны. Следовательно, вторые точки пересечения этих прямых с окружностью совпадают. Поэтому все три прямые пересекаются на описанной окружности треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5112