Информация о задаче

Задача 55348

Темы:	[	Теорема косинусов	]
Темы:	[	Перенос стороны, диагонали и т.п.	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В трапеции средняя линия равна 7, высота равна ${\frac{15\sqrt{3}}{7}}$ , а угол между диагоналями против основания равен 120^o. Найдите диагонали трапеции.

Подсказка

Через вершину меньшего основания трапеции проведите прямую, параллельную диагонали.

Решение

Через вершину C меньшего основания BC трапеции ABCD проведём прямую, параллельную диагонали BD, до пересечения с прямой AD в точке P. Тогда

AP = AD + DP = AD + BC = 2^.7 = 14.

Обозначим AC = x, BD = CP = y. Поскольку $\angle$ ACP = 120^o, то

AC² + CP² - 2AC^.CP cos 120^o = AP², или x² + y² + xy = 196.

С другой стороны,

S_ACP = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ xy^.sin 120^o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AP^. $\displaystyle {\frac{15\sqrt{3}}{7}}$ ,

или xy = 60. Из системы

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} x^{2}+y^{2}+xy = 196\\ xy = 60 \\ \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lll} x^{2}+y^{2}+xy = 196\\ xy = 60 \\ \end{array}$

находим, что AC = x = 6, BD = y = 10 или AC = x = 10, BD = y = 6.

Ответ

6 и 10.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4095