Информация о задаче

Задача 55298

Темы:	[	Теорема косинусов	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Из точки M на окружности проведены три хорды: MN = 1, MP = 6, MQ = 2. При этом углы NMP и PMQ равны. Найдите радиус окружности.

Подсказка

Выразите отрезки NP и PQ по теореме косинусов из треугольников NMP и PNQ.

Решение

Обозначим $\angle$ NMP = $\angle$ PMQ = $\alpha$ . Выразим равные отрезки NP и PQ по теореме косинусов из треугольников NMP и PMQ соответственно:

NP² = MN² + MP² - 2NM^.MP cos $\displaystyle \alpha$ ,

PQ² = MP² + MQ² - 2MP^.MQ cos $\displaystyle \alpha$ .

Приравняв правые части полученных равенств, получим уравнение, из которого найдем, что cos $\alpha$ = ${\frac{1}{4}}$ . Тогда

sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{15}}{4}}$ .

Если R — искомый радиус, то

R = $\displaystyle {\frac{NP}{2\sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{34}}{\frac{\sqrt{15}}{2}}}$ = 2 $\displaystyle \sqrt{\frac{34}{15}}$ .

Ответ

2 $\sqrt{\frac{34}{15}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4045