ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 54871
УсловиеВ треугольнике ABC известны высоты: ha = , hb = , hc = . Найдите отношение биссектрисы CD к радиусу описанной окружности.
ПодсказкаПроизведение стороны треугольника на проведённую к ней высоту для данного треугольника постоянно.
РешениеОбозначим BC = a, AC = b, AB = c. Поскольку площадь треугольника равна половине произведения стороны на проведённую к ней высоту, То
a . = b . = c . ,
откуда
b = и
c = . Обозначив
a = m,
получим:
a = 3m, b = 4m, c = 5m.
Треугольник ABC прямоугольный, т.к.
a2 + b2 = 9m2 + 16m2 = 25m2 = c2.
Радиус R его описанной окружности равен половине гипотенузы, т.е.
R = = .
Обозначим CD = x. Тогда
SABC = ab, SBCD = ax sin 45o = , SACD = bx sin 45o = ,
а т.к.
SBCD + SACD = SABC, имеем уравнение
x(a + b) = 2ab,
откуда находим, что
x = = .
Следовательно,
= = .
Ответ.
Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|