Информация о задаче

Задача 54475

Темы:	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Найдите площадь треугольника ABC, если AC = 3, BC = 4, а медианы AK и BL взаимно перпендикулярны.

Подсказка

Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины.

Решение

Пусть M — точка пересечения медиан треугольника ABC. Обозначим ML = x, MK = y. Тогда MB = 2x, MA = 2y. По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников BMK и AML находим:

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} 4x^{2} + y^{2} = 4\\ x^{2} + 4y^{2} = \frac{9}{4}.\\ \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lll} 4x^{2} + y^{2} = 4\\ x^{2} + 4y^{2} = \frac{9}{4}.\\ \end{array}$

Из полученной системы находим, что

x = $\displaystyle {\frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{3}}}$ , y = $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{3}}}$ .

Поэтому

S_AMB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AM^.MB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.2x^.2y = 2xy = $\displaystyle {\frac{\sqrt{11}}{3}}$ .

Следовательно,

S_ABC = 3S_AMB = $\displaystyle \sqrt{11}$ .

Ответ

$\sqrt{11}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2239