Информация о задаче

Задача 54412

Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
Темы:	[	Средняя линия трапеции	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В прямоугольной трапеции ABCD (BC параллельно AD, AB перпендикулярно AD) меньшее основание AD равно 3, а боковая сторона CD равна 6. Точка E, середина стороны CD, соединена отрезком прямой с точкой B. Известно, что угол CBE равен $\alpha$ . Найдите площадь трапеции ABCD.

Подсказка

Докажите, что угол при основании данной трапеции равен 2 $\alpha$ .

Ответ

Пусть H — середина AB. Поскольку EH — средняя линия данной трапеции, то EH || AD. Поэтому EH $\perp$ AB. Следовательно, треугольник ABE — равнобедренный и

$\displaystyle \angle$ AEH = $\displaystyle \angle$ BEH = $\displaystyle \angle$ CBE = $\displaystyle \alpha$ .

Из равнобедренного треугольника ADE находим, что

$\displaystyle \angle$ AED = $\displaystyle \angle$ EAD = $\displaystyle \angle$ AEH = $\displaystyle \alpha$ .

Поэтому

$\displaystyle \angle$ DCB = $\displaystyle \angle$ DEH = 2 $\displaystyle \alpha$ .

Пусть DK — высота трапеции. Тогда из прямоугольного треугольника DKC находим, что

DK = DC sin $\displaystyle \angle$ DCB = 6 sin 2 $\displaystyle \alpha$ , CK = DC cos $\displaystyle \angle$ DCB = 6 cos 2 $\displaystyle \alpha$ .

Следовательно,

S_ABCD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (AD + BC)^.DK = 3(6 + 6 cos 2 $\displaystyle \alpha$ )sin 2 $\displaystyle \alpha$ =

= 18(1 + cos 2 $\displaystyle \alpha$ )sin 2 $\displaystyle \alpha$ = 72 sin $\displaystyle \alpha$ cos³ $\displaystyle \alpha$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2176