Информация о задаче

Задача 53982

Темы:	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
Темы:	[	Прямые, касающиеся окружностей	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность вписана в треугольник со сторонами, равными a, b и c. Найдите отрезки, на которые точка касания делит сторону, равную a.

Подсказка

Обозначьте один из искомых отрезков через x и примените теорему о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки.

Решение

Пусть окружность касается сторон BC = a, AC = b и AB = c треугольника ABC в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. Обозначим BA₁ = x. По теореме о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки

BC₁ = BA₁ = x, CB₁ = CA₁ = a - x, AB₁ = AC₁ = AB - BC₁ = c - x,

а т.к. AC = AB₁ + CB₁, то получим уравнение b = c - x + a - x, откуда находим, что

BA₁ = x = $\displaystyle {\frac{a+c-b}{2}}$ , CA₁ = a - x = $\displaystyle {\frac{a+b-c}{2}}$ .

Ответ

${\frac{a+c-b}{2}}$ , ${\frac{a+b-c}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1746