Задача 53967

Темы:    [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В прямой угол вписана окружность радиуса R, касающаяся сторон угла в точках A и B. Через некоторую точку на меньшей дуге AB окружности проведена касательная, отсекающая от данного угла треугольник. Найдите его периметр.

Подсказка

Примените теорему о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки.

Решение

Пусть окружность с центром O вписана в прямой угол ACB (A и B — точки касания), а прямая, касающаяся окружности в точке M, лежащей на меньшей дуге AB, пересекает стороны CA и CB угла ACB в точках P и Q соответственно. Тогда четырёхугольник AOBC — квадрат. Поэтому

CP + PQ + QC = CP + (PM + MQ) + QC = (CP + PM) + (MQ + QC) =

= (CP + PA) + (MQ + QB) = CA + CB = R + R = 2r.

Ответ

2R.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1731