Задача 53829

Темы:    [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC  (AB = BC)  на высоте BD как на диаметре построена окружность. К окружности проведены касательные AM и CN, продолжения которых пересекаются в точке O. Найдите отношение ^AB/_AC, если  ^OM/_AC = k  и высота BD больше основания AC.

Подсказка

Рассмотрите подобные треугольники ODA и OMQ, где Q – центр окружности.

Решение

  Поскольку  BD > AC,  то точки O и B лежат по разные стороны от прямой AC. Пусть Q – центр окружности. Обозначим  AD = DC = a,  QD = r.  Тогда
AM = AD = a,  OM = 2ka,  AO = OM – AM = (2k – 1)a.
  Из подобия треугольников ODA и OMQ следует, что   OD = OM·^AD/_QM = ^2ka2/_r.
  По теореме Пифагора AO² = AD² + OD²,  или  (2k – 1)²a² = a² + ^4k²a²/_r².  Отсюда   r² = ^ak/_k–1,  AB² = 4r² + a² = ^4a²/_k–1 + a² = ^5k–1/_k–1 a².

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1593